Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的

2

倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明AC⊥面SBD，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥SD；
（Ⅱ）利用线面平行的性质定理确定E的位置，然后求出SE：EC的值．

解答：解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥面SBD，
所以AC⊥SD．
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，设正方形ABCD的边长为a，
则SD=

2

a，OD=

2

2

a，可得PD=

2

4

a，
故可在SP上取一点N，使PN=PD，
过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．
在△BDN中知BN∥PO，
又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，
得BE∥面PAC，
由于SN：NP=2：1，
故SE：EC=2：1．

点评：本题主要考查线面平行的判定，要求熟练掌握线面平行的判定定理．