Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；
（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件?q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．

解答：解：（1）a=1时，命题p：x²-4x+3＜0?1＜x＜3
命题q：

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

?

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

?2＜x≤3，
p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3
（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件?q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
由（1）知命题q：2＜x≤3，
命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0?（x-a）（x-3a）＜0
由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，
所以

a≤2 3a＞3

，所以1＜a≤2

点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．