【题目】
(1)[选修4﹣1:几何证明选讲]
如图,AB是圆O的直径,D,E为圆上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE.
求证:∠E=∠C.
(2)[选修4﹣2:矩阵与变换]
已知矩阵A的逆矩阵 ,求矩阵A的特征值.
(3)[选修4﹣4:坐标系与参数方程]
在极坐标中,已知圆C经过点P( , ),圆心为直线ρsin(θ﹣ )=﹣ 与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
(4)[选修4﹣5:不等式选讲]
已知实数x,y满足:|x+y|< ,|2x﹣y|< ,求证:|y|< .
【答案】
(1)
证明:连接 AD.
∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角).
∴AD⊥BD(垂直的定义).
又∵BD=DC,∴AD是线段BC 的中垂线(线段的中垂线定义).
∴AB=AC(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等).
∴∠B=∠C(等腰三角形等边对等角的性质).
又∵D,E 为圆上位于AB异侧的两点,
∴∠B=∠E(同弧所对圆周角相等).
∴∠E=∠C(等量代换).
(2)
解:∵矩阵A的逆矩阵 ,∴A=
∴f(λ)= =λ2﹣3λ﹣4=0
∴λ1=﹣1,λ2=4
(3)
解:∵圆心为直线ρsin(θ﹣ )=﹣ 与极轴的交点,
∴在ρsin(θ﹣ )=﹣中令θ=0,得ρ=1.∴圆C的圆心坐标为(1,0).
∵圆C 经过点P( , ),∴圆C的半径为PC=1.
∴圆 的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(4)
证明:∵3|y|=|3y|=|2(x+y)﹣(2x﹣y)|≤2|x+y|+|2x﹣y|,|x+y|< ,|2x﹣y|< ,
∴3|y|< ,
∴
【解析】(1).要证∠E=∠C,就得找一个中间量代换,一方面考虑到∠B,∠E是同弧所对圆周角,相等;另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到.从而得证.
(2).由矩阵A的逆矩阵,根据定义可求出矩阵A,从而求出矩阵A的特征值.
(3).根据圆心为直线ρsin(θ﹣ )=﹣ 与极轴的交点求出的圆心坐标;根据圆经过点P( , ),求出圆的半径,从而得到圆的极坐标方程.
(4).根据绝对值不等式的性质求证.
【考点精析】利用不等式的证明对题目进行判断即可得到答案,需要熟知不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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【题目】已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},
(1)若A只有一个元素,试求a的值,并求出这个元素;
(2)若A是空集,求a的取值范围;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1 , D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D 不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
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【题目】用二分法求函数的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)=–2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈–0.984,f(1.375)≈–0.260,关于下一步的说法正确的是( )
A. 已经达到精确度的要求,可以取1.4作为近似值
B. 已经达到精确度的要求,可以取1.375作为近似值
C. 没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.4375)
D. 没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.3125)
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【题目】下列推理过程不是演绎推理的是( )
①一切奇数都不能被2整除,2019是奇数,2019不能被2整除;
②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方;
③在数列中,,由此归纳出的通项公式;
④由“三角形内角和为”得到结论:直角三角形内角和为.
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
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【题目】下列有关线性回归分析的六个命题:
①线性回归直线必过样本数据的中心点;
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线;
③当相关性系数时,两个变量正相关;
④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数就越接近于1;
⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽,则回归方程的预报精确度越高;
⑥甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80,则模型乙的拟合效果更好.
其中真命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在直角坐标系xoy中,曲线C1上的点均在C2:(x﹣5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(1)求曲线C1的方程
(2)设P(x0 , y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别于曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
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【题目】设F1,F2分别为椭圆C
(1)若椭圆C上的点
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲
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