Question

1．已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+3f（-x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，则当x∈[-4，-2]时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性以及方程关系进行化简，求出函数在x∈[-4，-2]上的f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质利用配方法进行求解即可．

解答 解：∵y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+3f（-x）=0，
∴f（x+2）=-3f（-x）=3f（x），
则f（x+4）=3f（x+2）=9f（x），
即f（x）=$\frac{1}{9}$f（x+4），
若x∈[-4，-2]，
则x+4∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，∴当x=1时，函数f（x）取得最小值为-1，
当x∈[-4，-2]时，x+4∈[0，2]，此时函数f_min（x）=$\frac{1}{9}$f_min（x+4）=$\frac{1}{9}$×（-1）=-$\frac{1}{9}$，
∴函数f（x）取得最小值-$\frac{1}{9}$，
故答案为：-$\frac{1}{9}$

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．