【题目】如图,抛物线C1:y2=2px与椭圆C2: 在第一象限的交点为B,O为坐标原点,A为椭圆的右顶点,△OAB的面积为 .
(1)求抛物线C1的方程;
(2)过A点作直线L交C1于C、D两点,求线段CD长度的最小值.
【答案】
(1)解: ,焦点在轴,顶点A(4,0),
∵△OAB的面积为 ,S△OAB= xAyB= ,
∴yB= ,
将yB= ,代入椭圆方程得xB= ,
∴B点坐标为( , ),
将B点坐标代入抛物线方程:求得( )2=2P× ,解得p=4,
∴抛物线C1的方程是:y2=8x
(2)解:抛物线C1y2=8x的焦点为A(2,0).
设C(x1,y1),D(x2,y2),直线CD的方程为:x﹣4=my,将直线方程代入y2=8x,得:y2﹣8my﹣32=0,
由韦达定理可知:y1+y2=8m,y1y2=﹣32,
∴丨CD丨= = ,
=8 ,
=8 ,
∴当m2=0时,CD长度取最小值,最小值为8
【解析】(1)根据三角形面积公式求得B点的纵坐标,代入椭圆方程,求得B点横坐标,代入抛物线方程求p的值,即可写出抛物线方程;(2)设出C和D点的坐标及直线CD的方程,代入抛物线方程,求得关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系,写出y1+y2和y1y2的表达式,根据抛物线弦长公式,求得CD的最小值.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC的中点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.
(Ⅰ)求三棱锥P﹣ABD的体积.
(Ⅱ)在∠ACB的平分线所在直线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.
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【题目】已知p:直线y=(2m+1)x+m﹣2的图象不经过第四象限,q:方程x2+ =1表示焦点在x轴上的椭圆,若(¬p)∨q为假命题,求实数m的取值范围.
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【题目】现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .
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【题目】已知椭圆,圆的圆心在椭圆上,点到椭圆的右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点, 直线交圆于两点, 且为的中点, 求的面积的取值范围.
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