Question

【题目】已知函数f（x）=sinx﹣x，若f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0对任意的θ∈（0， ）恒成立，则实数m的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[﹣ ，+∞）
【解析】解：由f（x）=sinx﹣x可知，f（x）定义域为R，且为奇函数；
∵f'（x）=cosx﹣1≤0，则f（x）在R上单调递减；
f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0 即：f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）；
根据函数单调性有：cos2θ+2msinθ＜2m+2 ①；
sinθ=t∈（0，1），1﹣t＞0，①式则：1﹣t2+2mt＜2m+2；
﹣1﹣t2＜2m（1﹣t）；
m＞ =﹣ [（1﹣t）+ ﹣2]
∵u=（1﹣t）+ ﹣2 在（0，1）上单调递减，u（0）=1
∴m ﹣
所以答案是：[﹣ ，+∞）
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．