Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2
（1）求f（x）的最值及取得最值时的x的取值构成的集合；
（2）求f（x）在区间[0，2π]上的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由题意f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2，根据平面向量数量积运算求解出f（x）化简，结合三角函数的性质即可求解．
（2）三角函数的图象和性质，出内层函数的单调减区间，x∈[0，2π]时，即得到f（x）的单调减区间．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx），
由f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+2
=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+2
=sin（x+$\frac{π}{3}$）+2
根据三角函数的图象和性质：
当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+2kπ$时，（k∈Z）
函数f（x）取得最大值3，此时x的集合为$\left\{{x\left|{x=2kπ+\frac{π}{6}，k∈z}\right.}\right\}$
当x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$时，（k∈Z）
函数f（x）取得最小值1，此时x的集合为$\left\{{x\left|{x=2kπ-\frac{5π}{6}，k∈z}\right.}\right\}$
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+2
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，（k∈Z）
解得：$2kπ+\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，（k∈Z）
∵x∈[0，2π]
∴单调减区间为$[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题