Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$
（I）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明
（II）当x∈[1，2]时，f（ax-1）+f（$\frac{1}{2}$）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先判断函数为R上的增函数，再用单调性的定义加以证明；
（2）先判断函数为奇函数，再结合函数的单调性及分离参数法解出a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=1-$\frac{2}{3^x+1}$为R上的增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2•（$\frac{1}{{3}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{3}^{{x}_{1}}+1}$）
=2•$\frac{{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
因为x₁＜x₂，所以${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$，所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）为R上的单调递增函数；
（2）因为f（-x）=$\frac{{3}^{-x}-1}{{3}^{-x}+1}$=-$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=-f（x），
所以f（x）为R上的奇函数，且为增函数，
因此原不等式可化为，f（ax-1）≤f（-$\frac{1}{2}$），
所以，ax-1≤-$\frac{1}{2}$，即ax≤$\frac{1}{2}$，
分离参数a得，a≤$\frac{1}{2x}$在x∈[1，2]恒成立，
因此，a≤[$\frac{1}{2x}$]_min=$\frac{1}{4}$，
故实数a的取值范围为：（-∞，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断和证明，以及函数奇偶性与单调性的综合应用，不等式恒成立问题的解法，属于中档题．