Question

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为

1

2

与p，且乙投球2次均未命中的概率为

1

16

．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出事件，根据运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为

1

2

与p，且乙投球2次均未命中的概率为

1

16

，写出关于p的方程，解方程即可把不合题意的结果舍去．
（II）甲投球2次，至少命中1次，表示有一次命中，或有两次命中，写出事件对应的概率表示式，得到结果．
（III）甲、乙两人各投球2次，两人共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次．这三种情况是互斥的，写出概率．

解答：解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．
由题意得(1-P(B))2=(1-p)2=

1

16

解得p=

3

4

或

5

4

（舍去），
∴乙投球的命中率为

3

4

．
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知P(A)=

1

2

，P(

.

A

)=

1

2

故甲投球2次至少命中1次的概率为

C

1 2

P(A)P(

.

A

)+P(A)P(A)=

3

4

（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，P(A)=

1

2

，P(

.

A

)=

1

2

，P(B)=

3

4

，P(

.

B

)=

1

4

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：
甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次．
概率分别为

C

1 2

P(A)P(

.

A

)•

C

1 2

P(B)P(

.

B

)=

3

16

，P(A•A)P(

.

B

•

.

B

)=

1

64

，P(

.

A

•

.

A

)P(B•B)=

9

64

所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为

3

16

+

1

64

+

9

64

=

11

32

．

点评：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．本题的第二问也可以这样解由题设和（Ⅰ）知P(A)=

1

2

，P(

.

A

)=

1

2

．故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P(

.

A

•

.

A

)=

3

4