Question

已知函数f（x）=lg

1-x

1+x

的定义域为集合A，a，b∈A
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）求证：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数定义域关于原点对称，考查f（-x）与f（x）的关系，依据定义判断．
（2）若a、b∈D，先化简f（a）+f（b），再化简f（

a+b

1+ab

）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．

解答： 解：（1）由题意得：

1-x

1+x

＞0，
∴-1＜x＜1，
∴函数的定义域为：（-1，1）；
故函数的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
∴函数是奇函数；
（2）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．

点评：本题考查函数的定义域的求法，利用定义判断函数的奇偶性，以及利用对数的运算性质证明等式．