Question

已知P（3，0）是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点，则过P点的最短弦所在直线的方程是________．

Answer 1

x+y-3=0
分析：由已知中P（3，0）是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点，由垂径定理可得，过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，由圆的方程求出圆心坐标后，可以求出过P点的直径的斜率，进而求出过P点的最短弦所在直线的斜率，利用点斜式，可以得到过P点的最短弦所在直线的方程，但结果要化为一般式的形式．
解答：由圆的一般方程x²+y²-8x-2y+12=0可得
圆的标准方程为：（x-4）²+（y-1）²=5
即圆的圆心坐标为（4，1），
则过P点的直径所在直线的斜率为1，
由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直
∴过P点的最短弦所在直线的斜率为-1，
∴过P点的最短弦所在直线的方程y=-1（x-3）
即x+y-3=0
故答案为：x+y-3=0．
点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中由垂径定理，判断出过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直是解答本题的关键，另外求直线方程最后要将结果化为一般式的形式，这是本题中易忽略的地方．