Question

已知双曲线的一条渐近线过点，以右焦点F₂为圆心作圆与两条渐近线相切，圆面积恰为12π．
（1）求双曲线的方程；
（2）任作一直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，求证：|AC|=|BD|．

Answer 1

（1）解：∵双曲线的一条渐近线过点，∴，
∴一条渐近线方程方程
∵圆面积为12π，∴圆的半径为
∵以右焦点F₂为圆心作圆与两条渐近线相切
∴，∴
∴a²=16，b²=12
∴双曲线的方程为；
（2）证明：设直线为x=my+n代入双曲线方程可得（3m²-4）y²+6mny+3n²-48=0
又双曲线的渐近线方程为，直线方程代入可得（3m²-4）y²+6mny+3n²=0
∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，
∴AB、CD 的中点重合
∴|AC|=|BD|．
分析：（1）先确定渐近线方程，再利用以右焦点F₂为圆心作圆与两条渐近线相切，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线为x=my+n代入双曲线方程，渐近线方程，用韦达定理，可得AB、CD 的中点重合，即可得到结论．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．