Question

1．已知函数fx）=$\frac{{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}（x∈R）$，若满足f（1）=$\frac{1}{3}$
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）为奇函数．
（3）判断并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=$\frac{1}{3}$便可求出a=1；
（2）写出$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，定义域显然为R，容易得到f（-x）=-f（x），从而得出该函数为奇函数；
（3）分离常数得到$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根据单调性定义便可判断该函数在R上单调递增，根据增函数的定义证明：设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在R上单调递增．

解答 解：（1）f（1）=$\frac{1}{3}$；
∴$\frac{2+a-2}{2+1}=\frac{1}{3}$；
∴a=1；
（2）证明：$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
该函数定义域为R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（3）$f（x）=\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，可看出x增大时，f（x）增大，∴f（x）在R上为增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上为增函数．

点评 考查奇函数的定义及判断过程，分离常数法的运用，根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后为分式的一般要通分．