Question

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a²+b²=c²+ab．
（1）若

a

b

=

cosB

cosA

，且c=2，求△ABC的面积；
（2）已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，-sinB），求|

m

-2

n

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理结合题中平方关系的等式，算出cosC=

1

2

，从而得出C=

π

3

．再由正弦定理结合题中比例式，化简可得sin2A=sin2B，因此△ABC是等边三角形，不难得出△ABC的面积．
（2）首先计算

|m|

=

|n|

=1，且

m

•

n

=sin（A-B），代入(

m

-2

n

)2表达式并化简，得(

m

-2

n

)2=5-4sin(

2π

3

-2B)，根据角B的取值范围结合正弦函数的单调性，可得1≤(

m

-2

n

)2≤9，两边开方即得|

m

-2

n

|的取值范围．

解答：解析：（1）在△ABC中，∵a²+b²=c²+ab，即c²=a²+b²-ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，结合C∈（0，π）得C=

π

3

又∵

a

b

=

cosB

cosA

，可得

sinA

sinB

=

cosB

cosA

，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=

π

2

当A+B=

π

2

时，与C=

π

3

矛盾，故A=B，可得△ABC是等边三角形．
∵c=2，∴△ABC的面积S△ABC=

3

4

×22=

3

…（6分）
（2）∵向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，-），
∴

|m|

=1，

|n|

=1，

m

•

n

=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
 因此，(

m

-2

n

)2=

m

2+4

n

2-4

m

•

n

=5-4sin(A-B)
∵A+B=

2π

3

，得A=

2π

3

-B
∴(

m

-2

n

)2=5-4sin[(

2π

3

-B)-B]=5-4sin(

2π

3

-2B)
∵B∈（0，

2π

3

），得

2π

3

-2B∈（-

2π

3

，

2π

3

）…（10分）
∴当

2π

3

-2B=-

π

2

时，sin(

2π

3

-2B)有最小值-1，此时5-4sin(

2π

3

-2B)有最大值9；
当

2π

3

-2B=

π

2

时，sin(

2π

3

-2B)有最大值1，此时5-4sin(

2π

3

-2B)有最小值1．
可得1≤(

m

-2

n

)2≤9，开方得1≤|

m

-2

n

| ≤3
故|

m

-2

n

|的取值范围[1，3]．                             …（12分）

点评：本题是一道三角函数综合题，着重考查了平面向量数量积的坐标表示、模的公式，以及运用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．