Question

已知函数f(x)=x²+2x+alnx.

(1)若f(x)在区间(0,1］上恒为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)当t≥1时，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求实数a的范围.

Answer 1

解：f′(x)=2x++2,                                                         

(1)若f(x)是(0,1］上的增函数，则f′(x)=2x++2≥0.

在(0,1］上恒成立，即a≥-2x²-2x.

令g(x)=-2x²-2x,x∈(0,1］，∴g(x)_max=0,∴a≥0.                                    

若f(x)在(0,1］上单调递减，则f′(x)=2x++2≤0.

在x∈(0,1］上恒成立，

即a≤-2x²-2x,x∈(0,1］，g(x)=-2x²-2x,当x∈(0,1］,g(x)_min=-4.∴a≤-4,                 

∴当f(x)在(0,1］恒为单调函数时，a≥0或a≤-4.                                 

(2)∵f(x)=x²+2x+alnx，由f(2t-1)≥2f(t)-3得

(2t-1)²+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2(t²+2t+alnt)-3,

化简为：2(t-1)≥aln.①                                                   

∵当t＞1时，有t²＞2t-1,∴ln＞0.

故a≤,②                                                           

构造函数m(x)=ln(1+x)-x  (x＞-1),

m′(x)=-1=,

则m(x)在x=0取得极大值，同时也是最大值，故m(x)≤m(0),

从而ln(1+x)≤x在x＞-1时恒成立，故

ln=ln［1+］≤＜(t-1)²,③

当t＞1时恒成立，而t=1时，③式取得“=”,

∴ln≤(t-1)²,④

当t≥1时恒成立，因此由②③④可知实数a的范围为a≤2.