Question

【题目】设函数f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切。

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)在上的最大值。

Answer 1

【答案】（1）.

（2）f(x)max＝.

【解析】

分析：（1）对f(x)进行求导， 欲求出切线方程，只需求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，列出关于a，b的方程求解即可；

（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值.

详解：(1)f′(x)＝－2bx，

∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，

∴　解得

(2)由(1)知，f(x)＝lnx－x2，f′(x)＝－x＝，

当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1，

令f′(x)<0，得1<x≤e，

∴f(x)在[，1)上是增加的，在(1，e]上是减少的，

∴f(x)max＝f(1)＝－