Question

【题目】已知函数f（x）=ex ， g（x）=lnx
（1）若曲线h（x）=f（x）+ax2﹣ex（a∈R）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴，求函数h（x）的单调区间；
（2）若函数 在区间（0，2）上无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵h（x）=f（x）+ax2﹣ex=ex+ax2﹣ex

∴h′（x）=ex+2ax﹣e，

又∵曲线h（x）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴

∴k=h′（1）=2a，

由k=2a=0得a=0，

∴h（x）=ex﹣ex∴h′（x）=ex﹣e，

令h′（x）=ex﹣e＞0得x＞1，

令h′（x）=ex﹣e＜0得x＜1，

∴故h（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（﹣∞，1）

（2）解：∵

∴

①当a≤0时，在区间（0，2）上 恒成立，即函数F（x）在区间（0，2）上单调递减，故函数F（x）在区间（0，2）上无极值；

②当a＞0时，令 得：x=a，

当x变化时，F′（x）和F（x）的变化情况如下表

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	+	0	﹣
F（x）	单调递增↗	极大值	单调递减↘

∴函数F（x）在x=a处有极大值，

∴要使函数F（x）在区间（0，2）上无极值，只需a≥2，

综上①②所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）

【解析】（1）把f（x）代入曲线h（x），求h（x）的导函数，让导函数在x=1时的函数值为0，求解a的值，把a值代回原函数，由h′（x）大于0和小于0分别求函数的单调区间；（2）函数 在区间（0，2）上无极值，说明函数 在区间（0，2）上是单调函数，把函数F（x）求导后根据a的符号不同对a进行分类讨论，以保证导函数在区间（0，2）上大于0或小于0恒成立，从而求出a的具体范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．