Question

（2009•闵行区二模）（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁与一个侧棱长为2的正四棱锥P-A₁B₁C₁D₁组合而成．
（1）求该几何体的主视图的面积；
（2）若点E是棱BC的中点，求异面直线AE与PA₁所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）画出其主视图，可知其面积S为三角形与正方形面积之和，求出在正四棱锥P-A₁B₁C₁D₁中棱锥的高，即可求出该几何体的主视图的面积；
（2）取B₁C₁中点E₁，连接A₁E₁则∠PA₁E₁为异面直线AE与PA₁所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．

解答：（文）解：（1）画出其主视图（如图），
可知其面积S为三角形与正方形面积之和．
在正四棱锥P-A₁B₁C₁D₁中，棱锥的高h=

2

，（2分）
S=

1

2

•2•

2

+4=

2

+4．（6分）
（2）取B₁C₁中点E₁，连接A₁E₁，∵A₁E₁∥AE
则∠PA₁E₁为异面直线AE与PA₁所成角．（2分）
在△PA₁E₁中，A1E1=

5

，PA1=2，
又在正四棱锥P-A₁B₁C₁D₁中，斜高为PE1=

3

，（4分）
由余弦定理可得  cos∠PA1E1=

4+5-3

2•2• 5

=

3

10

5

（6分）
所以∠PA1E1=arccos

3

10

5

，异面直线AE与PA₁所成的角为arccos

3

10

5

．（8分）

点评：本题主要考查了三视图和异面直线所成角，以及平面图象的面积的计算，属于中档题．