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(2009•闵行区二模)(文)如图几何体是由一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1与一个侧棱长为2的正四棱锥P-A1B1C1D1组合而成.
(1)求该几何体的主视图的面积;
(2)若点E是棱BC的中点,求异面直线AE与PA1所成角的大小(结果用反三角函数表示).
分析:(1)画出其主视图,可知其面积S为三角形与正方形面积之和,求出在正四棱锥P-A1B1C1D1中棱锥的高,即可求出该几何体的主视图的面积;
(2)取B1C1中点E1,连接A1E1则∠PA1E1为异面直线AE与PA1所成角,然后利用余弦定理求出此角的余弦值,最后利用反三角表示出此角即可.
解答:(文)解:(1)画出其主视图(如图),
可知其面积S为三角形与正方形面积之和.
在正四棱锥P-A1B1C1D1中,棱锥的高h=
2
,(2分)
S=
1
2
•2•
2
+4=
2
+4
.(6分)
(2)取B1C1中点E1,连接A1E1,∵A1E1∥AE
则∠PA1E1为异面直线AE与PA1所成角.(2分)
在△PA1E1中,A1E1=
5
,PA1=2

又在正四棱锥P-A1B1C1D1中,斜高为PE1=
3
,(4分)
由余弦定理可得  cos∠PA1E1=
4+5-3
2•2•
5
=
3
10
5
(6分)
所以∠PA1E1=arccos
3
10
5
,异面直线AE与PA1所成的角为arccos
3
10
5
.(8分)
点评:本题主要考查了三视图和异面直线所成角,以及平面图象的面积的计算,属于中档题.
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