Question

已知圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．

Answer 1

（1）设圆M的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根据题意得

(1-a)2+(-1-b)2=r2 (-1-a)2+(1-b)2=r2 a+b-2=0

，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S_△PAM+S_△PBM=

1

2

（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2

|PM|2-4

．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=

3+4+8

5

=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2

|PM|2-4

=2

5

．