Question

设方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0．
（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆；
（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0可变为：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，要得到方程为圆，
则要-7m²+6m+1大于0；如果-7m²+6m+1大于0得到方程为圆，所以得到m的范围即可．
（2）可设n=-7m²+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法求出半径的最大值即可．

解答：解：（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
变形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，要使方程表示圆，
则需要-7m²+6m+1＞0；如果-7m²+6m+1＞0，则得到方程表示圆；
所以当且仅当-7m²+6m+1＞0即-

1

7

＜m＜1时，该方程表示一个圆；
（2）在-

1

7

＜m＜1时，设r²=-7m²+6m+1，为开口向下的抛物线，
当m=

3

7

时，r²最大为

16

7

．
所以圆的方程为(x-

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

．

点评：考查学生会找方程表示圆时的条件，会求二次函数的最大值，会根据已知条件表示圆的一般方程．同时让学生理解当且仅当的数学意义．