Question

已知点M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y=

OM

•

ON

（O为坐标 原点）
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为 2sin(2x+

π

6

)+ 1 + a，求出周期．
（2）根据x的范围，可得角2x+

π

6

 的范围，得到sin（2x+

π

6

 ）的值域，从而求得最值．

解答：解：（1）依题意得：

OM

=(1+cos2x，1)，

ON

=(1，

3

sin2x+a)，
∴y=1 + cos2x + a

3

sin2x+ a=2sin(2x+

π

6

)+ 1 + a，
∴f（x）的最小正周期为π．
（2）若x∈[0，

π

2

]，则(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
故 y_max =2+1+a=4，∴a=1，y_min =-1+1+a=a=1．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和正弦公式，以及正弦函数的周期性、值域，化简函数f（x）的解析式，是解题的突破口．