Question

某学校举办一场以“为希望工程献爱心”为主题的图书义卖活动，同学甲随机地从10本书中买两本，假设每本书被甲同学买走的概率相同，已知这10本书中有3本单价定为10元，4本单价定为15元，3本单价定为20元，记甲同学买这两本书所付金额为ξ（元）．求：
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：ξ可能取的值为：20，25，30，35，40，再分别求出其概率进而得到随机变量ξ的分布列．
（2）结合（1）的结论与期望与方差的计算公式即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：ξ可能取的值为：20，25，30，35，40，
所以P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

；P（ξ=25）=

C 1 3 C 1 4

C 2 10

=

4

15

；P（ξ=30）=

C 2 4 + C 1 3 C 1 3

C 2 10

=

5

15

=

1

3

；P（ξ=35）=

C 1 4 C 1 3

C 2 10

=

4

15

；P（ξ=40）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

，
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	20	25	30	35	40
P	1 15	4 15	1 3	4 15	1 15

（2）由（1）可得：
随机变量ξ的期望Eξ=20×

1

15

+ 25×

4

15

+30×

1

3

+35×

4

15

+40×

1

15

=30，
方差Dξ=(20-30)2×

1

15

+(25-30)2×

4

15

+(30-30)2×

1

3

+(35-30)2×

4

15

+(40-30)2×

1

15

=

80

3

．

点评：本题主要考查等可能事件的概率公式，以及离散型随机变量的分布列、期望与方差，此题属于基础题．