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3.设正实数x,y满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$,则y的最大值是$\sqrt{5}$-2.

分析 正实数x,y满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$,化为yx2+(y2-1)x+4y=0,由于关于x的方程有正实数根,可知△≥0.又x1x2=4>0,可知x1与x2同号,必有x1+x2=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$,解得0<y<1.再利用△≥0.解出即可得到最大值.

解答 解:正实数x,y满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$,
化为yx2+(y2-1)x+4y=0,
∵关于x的方程有正实数根,∴△≥0.
又x1x2=$\frac{4y}{y}$=4>0,∴x1与x2同号,
∴x1+x2=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$>0,解得0<y<1.
由△≥0.∴(y2-1)2-16y2≥0,
∴(y2+4y-1)(y2-4y-1)≥0.
∵0<y<1,∴y2-4y-1<0,
∴y2+4y-1≤0,
解得0<y≤$\sqrt{5}$-2.
∴实数y的最大值为$\sqrt{5}$-2.
故答案为:$\sqrt{5}$-2.

点评 本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法,考查了转化思想,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

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