【题目】设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1-3Sn=1.
(1) 求证:数列{an}为等比数列;
(2) 数列{an}是否存在一项ak,使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*,r≥2)项的和?请说明理由.
【答案】(1) 见解析. (2) 见解析.
【解析】试题分析:(1)由 可得
,两式相减化简可得数列{an}为等比数列;(2)假设数列
中存在一项
恰好可以表示为该数列中连续项的和,利用等比数列求和化简后,导出矛盾即可得结论.
试题解析:(1)∵ Sn+1-3Sn=1,∴ n≥2时Sn-3Sn-1=1,两式相减得an+1-3an=0,即an+1=3an(n≥2).
又a1=1,S2-3S1=1,∴ a2=3,∴ n=1时an+1=3an也成立.
∴ n∈N*时=3,数列{an}为等比数列.
(2) 解:由(1)知an=3n-1,若数列{an}中存在一项ak,使得ak=am+am+1+am+2+…+am+r-1(m∈N*).(2)
∵ an=3n-1,∴ {an}为递增数列.
∴ ak>am+r-1,即3k-1>3m+r-2,k>m+r-1,k≥m+r.
又am+am+1+am+2+…+am+r-1=<
≤
<3k-1=ak与ak=am+am+1+am+2+…+am+r-1相矛盾.
∴ 数列{an}不存在一项ak,使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*,r≥2)项的和.
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【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点 再取两个动点
,
,且
.
(Ⅰ)求直线与
交点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹C交于P,Q,过P作
轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若
,求证:
.
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【题目】某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成,现采用分层抽样的方法抽取5人,组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问:
(Ⅰ)应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人;
(Ⅱ)已知该地区有,
两种型号的“共享单车”,在市场体验中,该体验小组的高二级学生都租
型车,高一级学生都租
型车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租
型车的概率.
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【题目】在直角坐标系中,已知曲线
(
为参数),在以
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
,曲线
.
(1)求曲线与
的交点
的直角坐标;
(2)设点,
分别为曲线
上的动点,求
的最小值.
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【题目】某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为2.10元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元.已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)如甲、乙两户该月共交水费40.8元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
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