Question

已知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．

Answer 1

分析：（1）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即可求得f（x）的递增区间；
（2）由x∈[0，

π

2

]，可求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，从而可求得）2sin（2x+

π

6

）的最大值，再由f（x）的最大值为4可求a的值；
（3）由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

即可求出使f（x）取最大值时x的集合．

解答：解：（1）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
所以，递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴2sin（2x+

π

6

）的最大值为2，
∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1在∈[0，

π

2

]的最大值为4，
∴a+3=4，
∴a=1．
（3）∵2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，
∴x=kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）取最大值时x的集合{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．

点评：本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．