Question

（本小题满分12分）

已知函数f(x)=x3+ax2+ax-2(a∈R),

(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围；

(2)设A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点，若直线AB的斜率不小于-，求实数a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为单调递增函数，

所以f′(x)=x2+ax+a>0在(-∞，+∞)上恒成立.

由Δ=a2-4a<0，解得0<a<4.                                                 4分

又当a=0时，f(x)=x3-2在(-∞，+∞)上为单调递增函数;

当a=4时，f(x)=x3+2x2+4x-2=(x+2)3-在(-∞，+∞)上为单调递增函数，

所以0≤a≤4.                                                         6分（12分文）

(2)依题意，方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1、x2，

由Δ=a2-4a>0，解得a<0或a>4,且x1+x2=-a，x1x2=a.                           8分

所以f(x1)-f(x2)=［(x12+x1x2+x22)+a(x1+x2)+a］(x1-x2).

所以=［(x1+x2)2-x1x2］+a(x1+x2)+a=(a2-a)+a(-a)+a=-a2+a≥-.

解之,得-1≤a≤5.

所以实数a的取值范围是-1≤a<0或4<a≤5.                                  12分

【解析】略