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已知椭圆方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
.且椭圆的焦距为4
3
,定点A(
13
2
3
)
为椭圆上的点,点P为椭圆上的动点,过点P作y轴的垂线,垂足为P1,动点M满足
P1M
=2
P1P

(1)求M点的轨迹T的方程;
(2)已知O(0,0)、E(2,1),试探究是否存在这样的点Q:Q是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且△OEQ的面积S△OEQ=2?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
分析:(1)先求得椭圆方程为,设P(x0,y0),M(x,y),由题意可得:x0=
x
2
y0=y
代入椭圆方程化简可得
M点的轨迹T的方程.
 (2)分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2 ,符合条件的点均在直线l1、l2上,分别解
x2+y2<16
y=
1
2
(x+4)
x2+y2<16
y=
1
2
(x-4)
,求得x的范围,找出其中的整数,代入直线l1、l2的方程求出y的整数值,即得点Q的坐标.
解答:解:(1)由题意可知:椭圆焦点为F1(0,-2
3
),F2(0,2
3
)

|AF1|+|AF2|=2a,所以a=4,b2=a2-c2=4,所以椭圆方程为:
y2
16
+
x2
4
=1

设P(x0,y0),M(x,y),由题意可得:x0=
x
2
y0=y
代入椭圆方程化简可得
M点的轨迹T的方程为:x2+y2=16.
(2)连接OE,易知轨迹T上有两个点 A(-4,0),B(4,0)满足S△OEA=S△OEB=2,
分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2
∵同底等高的两个三角形的面积相等,∴符合条件的点均在直线l1、l2上.
kOE=
1
2
,∴直线l1、l2的方程分别为:y=
1
2
(x+4)、y=
1
2
(x-4)

设点Q(x,y)(x,y∈Z),∵O在轨迹T内,∴x2+y2<16,
分别解
x2+y2<16
y=
1
2
(x+4)
x2+y2<16
y=
1
2
(x-4)
,得  -4<x<2
2
5
,或 -2
2
5
<x<4

∵x,y∈Z,∴x为偶数,在(-4,2
2
5
)
上,x=-2,0,2对应的y=1,2,3
(-2
2
5
,4)
上,x=-2,0,2,对应的y=-3,-2,-1,∴满足条件的点Q存在,共有6个,它们的坐标分别为:
(-2,1),(0,2),(2,3),(-2,-3),(0,-2),(2,-1).
点评:本题考查点轨迹方程的求法,本题考查直线和圆的位置关系,判断符合条件的点均在直线l1、l2上,是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知M(m,m2)、N(n,n2)是抛物线C:y=x2上两个不同点,且m2+n2=1,m+n≠0,直线l是线段MN的垂直平分线.设椭圆E的方程为
x2
2
+
y2
a
=1(a>0,a≠2)

(Ⅰ)当M、N在抛物线C上移动时,求直线L斜率k的取值范围;
(Ⅱ)已知直线L与抛物线C交于A、B、两个不同点,L与椭圆E交于P、Q两个不同点,设AB中点为R,OP中点为S,若
OR
OS
=0
,求椭圆E离心率的范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的两点,已知向量
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
y2
a
),若
m
n
=0且椭圆的离心率e=
3
2
,短轴长为2,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
3
2
,短轴长为2.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),是椭圆上的两点,向量
m
=(
x1
b
y1
a
)
n
=(
x2
b
y2
a
)
,且
m
.
n
=0
,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的两点,已知O为坐标原点,椭圆的离心率e=
3
2
,短轴长为2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆C上的不同两点,已知向量
m
=(
x1
b
y1
a
)
n
=(
x2
b
y2
a
)
,且
m
n
=0.已知O为坐标原点,试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

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