Question

已知函数f(x)＝alnx＋bx,且f(1)＝－1，f′(1)＝0，
⑴求f(x)；
⑵求f(x)的最大值；
⑶若x＞0,y＞0,证明：lnx＋lny≤.

Answer 1

（1）f(x)＝lnx－x
（2）最大值为－1
（3）证明见解析。

本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题，同时考查考生用函数放缩的方法证明不等式的能力．
⑴由b＝ f(1)＝－1, f′(1)＝a＋b＝0, ∴a＝1,∴f(x)＝lnx－x为所求；……………4分
⑵∵x＞0,f′(x)＝－1＝,

x	0＜x＜1	x＝1	x＞1
f′(x)	＋	0	－
f(x)	↗	极大值	↘

 
∴f(x)在x＝1处取得极大值－1，即所求最大值为－1；……………8分
⑶由⑵得lnx≤x－1恒成立，
∴lnx＋lny＝＋≤＋＝成立………12分