Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足Sn=2an+n（n∈N*）．
（1）求证数列{an﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=log2（﹣an+1），求数列{ }的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an+n（n∈N+）

∴Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1（n≥2）

两式相减得：an=2an﹣1﹣1，

变形可得：an﹣1=2（an﹣1﹣1），

又∵a1=2a1+1，即a1﹣1=﹣1﹣2=﹣2，

∴数列{an﹣1}是首项为﹣2、公比为2的等比数列，

∴数列an﹣1=﹣22n﹣1=﹣2n，an=﹣2n+1

（2）解：∵bn=log2（﹣an+1）=log22n=n．

∴ =

∴Tn=

=

= ﹣

【解析】（1）通过Sn=2an+n（n∈N+）与Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1（n≥2）作差、变形可知an﹣1=2（an﹣1﹣1），进而计算即得结论．（2）由bn=log2（﹣an+1）=log22n=n．得 = ，累加即可求解．
【考点精析】掌握等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．