【题目】如图,在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC= ,BC=2,AA1= ,点P为CC1的中点.
(1)求证:A1C⊥平面ABP;
(2)求平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值.
【答案】
(1)证明:在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
∵AB平面ABC,∴AA1⊥AB,
∵AB=1,AC= ,BC=2,AA1= ,点P为CC1的中点,
∴BC2=AB2+AC2,∴AB⊥AC,
又AA1∩AC=A,∴AB⊥A1C,
在矩形ACC1A1中,A1C= =3,AP= = ,
在Rt△A1CA中,sin∠A1CA= = ,
在Rt△PAC中,cos = ,
∴sin∠A1CA=cos∠PAC,∴∠PAC+∠A1CA=90°,
∴A1C⊥AP,
∵AP∩AB=A,∴A1C⊥平面ABP
(2)解:由(1)知AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC,
以A为坐标原点,以AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0, ),C(0, ,0),P(0, , ),
=(1,0,0), ,
设平面A1B1P的法向量为 =(x,y,z),
则 ,
令y=1,得 =(0,1, ),
由(1)知平面ABP的一个法向量为 =(0,﹣ , ),
∴cos< >= = = ,
∴sin< >= = .
即平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值为 .
【解析】(1)推导出AA1⊥AB,AB⊥AC,从而AB⊥A1C,再推导出A1C⊥AP,由此能证明A1C⊥平面ABP.(2)以A为坐标原点,以AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想).
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【题目】为了估计某人的射击技术情况,在他的训练记录中抽取50次检验,他的命中环数如下:10,5,5,8,7,8,6,9,7,8,6,6,5,6,7,8,10,9,7,9,8,7,6,5,9,9,8,8,5,8,6,7,6,9,6,8,8,8,6,7,6,8,107,10,8,7,7,9,5
(1)列出频率分布表
(2)画出频率分布的直方图.
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【题目】为迎接党的“十九”大的召开,某校组织了“歌颂祖国,紧跟党走”党史知识竞赛,从参加考试的学生中抽出50名学生,将其成绩(满分100分,成绩均为整数)分成六段, ,…, 后绘制频率分布直方图(如下图所示)
(Ⅰ)求频率分布图中的值;
(Ⅱ)估计参加考试的学生得分不低于80的概率;
(Ⅲ)从这50名学生中,随机抽取得分在的学生2人,求此2人得分都在的概率.
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【题目】已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为 (t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,有曲线C2:ρ=2cosθ-4sinθ
(1)将C1的方程化为普通方程,并求出C2的平面直角坐标方程
(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离.
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【题目】设函数f(x)=Asin(2x+ )(x∈R)的图象过点P( ,﹣2). (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知f( + )= ,﹣ <a<0,求cos(a﹣ )的值.
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【题目】数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn .
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