Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x-6）=f（x）+f（3）成立，且f（2）=-1，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．则给出下列命题：
①f（2014）=-1；    
②函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=6；
③函数y=f（x）在[6，9]上为增函数；
④函数f（x）在[-12，12]上有8个零点．
其中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：首先，根据f（x-6）=f（x）+f（3），得到f（3）=0，然后，借助于条件当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．得到函数f（x）在区间[0，3]上为增函数，从而得到该函数的周期为6，从而求解问题．

解答： 解：∵f（x-6）=f（x）+f（3），
∴当x=3时，f（-3）=f（3）+f（3），
∴f（3）=0，
∵当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
∴函数f（x）在区间[0，3]上为增函数，
对于①：f（2014）=f（672×3-2）=f（-2）=f（2）=-1，
故①正确；
对于②：
∵f（x-6）=f（x）+f（3），
∴当x=6时，f（0）=f（6）+f（3），
∵f（3）=0，
∴f（0）=f（6），
∵x=0为该函数的对称轴，
∴函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=6；
∴②正确；
对于③：
根据②得，该函数的周期为6，
∵当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
∴函数f（x）在区间[0，3]上为增函数，
∴函数y=f（x）在[6，9]上为增函数；
∴③正确；
对于④：根据函数的周期为6，且f（3）=0，
∴函数f（x）在[-12，12]上有4个零点．
∴④错误，
故答案为：①②③．

点评：本题综合考查了函数的单调性周期性奇偶性等知识，属于综合题，充分利用各个条件是解题的关键，本题属于难题．