Question

给出下列命题
①y=1是幂函数；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个；
③(x+

1

x

+2)5展开式的常数项是252；
④函数y=sinx x∈[-π，π]的图象与x轴围成的图形面积是S=∫_-x^xsinxdx；
⑤若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2，
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：利用幂函数的定义判断①的正误；利用函数的零点的个数判断②的正误；利用常数项判断③的正误；利用定积分判断④的正误；利用正态分布的概率判断⑤的正误．

解答： 解：对于①，由幂函数的定义可知①不正确；
对于②，函数f（x）=2^x-x²的零点有2个，由题意可知：要研究函数f（x）=x²-2^x的零点个数，
只需研究函数y=2^x，y=x²的图象交点个数即可．画出函数y=2^x，y=x²的图象，由图象可得有3个交点．
所以②不正确．
对于③(x+

1

x

+2)5展开式的常数项是252；当x＞0时，
(x+

1

x

+2)5=(

x

+

1

x

)10的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 10

•x

10-2r

2

，
令5-r=0，求得 r=5，∴展开式中的常数项等于

C

5 10

=252，
此时③正确．
当x＜0时，(x+

1

x

+2)5=-(

|x|

-

1

|x|

)10的展开式的通项公式为 T_r+1=（-1）^r+1

C

r 10

•|x|

10-2r

2

，
令5-r=0，求得 r=5，∴展开式中的常数项等于（-1）⁶

C

5 10

=252，
所此时③正确．
综上③正确．
对于④，函数y=sinx x∈[-π，π]的图象与x轴围成的图形面积是S=2∫₀^xsinxdx；所以④不正确；
对于⑤，若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.5-0.3=0.2，所以⑤正确．
故答案为：③⑤．

点评：本题主要考查函数的零点，定积分求解面积，正态分布的应用，幂函数的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．