Question

设P₁，P₂，P₃，…P_n，是曲线上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…Q_n是x轴的正半轴上的点列，O为坐标原点，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_nQ_n+1P_n+1是等边三角形，设它们的边长分别为a₁，a₂，a₃，…a_n，求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

解：当n=1时，由，得，
∴，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
则由△Q_n-1P_nQ_n为正三角形，（Q₀为原点，S₀=0），
∴，
又由点P_n在曲线上，
∴，
即
∴．
两式相减，得，
∵a_n+1+a_n≠0，
∴
可验证，
故数列{a_n}是以为首项，为公差的等差数列，
∴，
∴．
分析：当n=1时，由，得，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，由△Q_n-1P_nQ_n为正三角形知，由点P_n在曲线上，知即，由此入手能够求出{a_n}前n项和S_n．
点评：本题考查等差数列的性质和函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．具有一定的难度，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答．