Question

设{a_n}是公比为q的等比数列，其前项积为，并满足条件a1＞1，a99a100-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0，给出下列结论：（1）0＜q＜1；（2）T₁₉₈＜1；（3）a₉₉a₁₀₁＜1；（4）使T_n＜1成立的最小自然数n等于199，其中正确的编号为

 

．

Answer 1

分析：首先判断数列的单调性，然后再根据等比数列的性质进行分析判断．

解答：解：根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a₉₉a₁₀₀-1＞0，可知该等比数列的公比是正值，再根据

a99-1

a100-1

＜0可知，a₉₉，a₁₀₀一个大于1，一个小于1，而a₁＞1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0＜q＜1，而且a₉₉＞1，a₁₀₀＜1，又a₉₉a₁₀₁=a₁₀₀²＜1，（1）（3）正确；
T₁₉₈=a₁a₂••a₉₉a₁₀₀••a₁₉₇a₁₉₈=（a₉₉a₁₀₀）⁹⁹＞1，（2）不正确；
T₁₉₉=a₁a₂••a₁₀₀••a₁₉₈a₁₉₉=（a₁₀₀）¹⁹⁹＜1，故（4）正确．
故答案为：（1）、（3）、（4）．

点评：本题设置开放性的结论，综合考查等比数列的性质以及分析问题的能力，试题比较符合高考命题的趋势．在等比数列中最主要的性质之一就是a_m+a_n=a_p+a_q?m+n=p+q（m，n，p，q∈N^*）．