Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）若f（x）为R上的增函数，证明：存在唯一的实数，使得对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立．

Answer 1

分析：（1）由f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5解得f（1）=3．f（2）=4．再由f（2）=f[3+（-1）]=f（3）+f（-1）-2=5+f（-1）-2=4．解得f（-1）=1．由此能求出f（1）+f（-1）．
（2）f（x）为R上的增函数，且对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3=f（1），等价于对任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，构造函数y=x²+2t²x，利用导数能够进行证明．

解答：（1）解：∵f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
解得f（1）=3．
∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=f（2）+3-2=5，
∴f（2）=4．
∵f（2）=f[3+（-1）]=f（3）+f（-1）-2=5+f（-1）-2=4．
∴f（-1）=1．
∴f（1）+f（-1）=4．
（2）证明：∵f（x）为R上的增函数，且对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3=f（1），
∴对任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，
设y=x²+2t²x，
则y′=2x+2t²，
∵x∈（0，1），∴y′=2x+2t²＞0，
∴y=x²+2t²x在（0，1）内是增函数，
∴y=x²+2t²x的值域为（0，1+2t²），
∵对任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，
∴1+2t²≤1，解得t=0．
∴存在唯一的实数t=0，使得对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立．

点评：本题考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．