Question

已知首项为1的数列{a_n}满足：对任意正整数n，都有：，其中c是常数．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列的前n项和为S_n，求证：S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1时，1×2⁰=2×2+c，
解得c=-3．
（Ⅱ）∵，①
∴+…+=[（n-1）²-2（n-1）+3]•2^n-1+c，②
①-②，并整理，得，
∴a_n=n²．
（Ⅲ）∵a_n=n²，
∴数列={n•}．
∴S_2n-1=1+2+3+…+（2n-1）•，
-S_2n-1=1+2+…+（2n-2）•+（2n-1）•，
∴S_2n-1=1+++…+-（2n-1）•，
==，
∴．
同理，S_2m=．
∴S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．
分析：（Ⅰ）当a=1时，1×2⁰=2×2+c，解得c=-3．
（Ⅱ）由得，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由a_n=n²，知数列={n•}．由错位相减法求得．S_2m=．所以S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意特殊值和错位相减法的合理运用．