Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

而 ，

∵a＞0，x＞﹣1，∴当 时，f'（x）＜0，

当 时，f'（x）＞0，

∴函数f（x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是

（2）解：由（1）可知，f（x）的最小值

为 ，a＞0．

要证明 ，

只须证明 成立．

设 ，x∈（0，+∞）．

则 ，

∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ．

取 得到 成立．

设ψ（x）=ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．

取 得到 成立．因此，

【解析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；（2）由（1）可知，f（x）的最小值为 ，a＞0，构造函数设 ，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．