Question

在长方体中，为线段中点．

（1）求直线与直线所成的角的余弦值；
（2）若,求二面角的大小；
（3）在棱上是否存在一点,使得平面？若存在，求的长；若不存在,说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）以点为原点,建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,从而可求出和的坐标,因为,所以直线与直线所成的角为，其余弦值；（2）分别求出平面和平面的法向量，求出法向量所成的角，转化为二面角的平面角；（3）假设在棱上存在一点,使得平面,则，设，则垂直于平面的法向量，从而求出，即存在点，使平面．
试题解析：
（1）以点为原点,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,
则 ，
 ,
故即与所成角的余弦值为0 ．
(2) 连接,由长方体,得 ，
,,由(1)知,故平面. 所以是平面的法向量,而,
又，设平面的法向量为,则有,取,可得
则  ，所以二面角是 ．
(3) 假设在棱上存在一点,使得平面,则，设，平面的法向量为则有,取,可得
要使平面,只要 ，
,又平面,
存在点使平面,此时.