Question

（本题满分16分）
已知函数，，且在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）设函数若方程恰四个不同的解，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（2）见解析（3）

（1），由条件，得
 即 解得，所以．  3分
（2），其定义域为，
，
令，得（*）          5分
①若，则，即的单调递增区间为；      
②若，（*）式等价于，
当时，，无解，即无单调增区间，
当时，则，即的单调递增区间为，
当，则，即的单调递增区间为．  8分
（3）..
当时，，，
令，得，且当时，；当时，，
所以在上有极小值，即最小值为．   10分
当时，，，
令，得，
①若，方程不可能有四个解；        12分
②若，当时，，当时，，
所以在上有极小值且是最小值为，
又，的大致图象如图1所示，

从图象可以看出方程不可能有四个解．  14分
③若，当时，，当时，，
所以在上有极大值且是最大值为，
又，的大致图象如图2所示，

从图象可以看出若方程恰四个不同的解，
必须，解得．
综上所述，满足条件的实数的取值范围是．    16分
【命题意图】本题考查导数在函数中应用、函数图像等知识 ，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.