Question

已知定点、，动点，且满足、、
成等差数列.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若曲线的方程为，过点的直线与曲线相切，
求直线被曲线截得的线段长的最小值.

Answer 1

（1）：（2）.

试题分析：（1）利用题中的条件得到椭圆的定义，求出椭圆的实轴长与焦距，然后利用、、之间的关
系求出的值，从而确定点的轨迹的方程；（2）先设直线的方程为，利用直线与圆
相切，结合确定和之间的等量关系，然后联立直线与椭圆的方程，求出交点的坐标，利用两点
间的距离公式求出弦长的表达式，利用换元法将弦长表达式进行化简，并利用函数单调性求出弦长的最小
值.
（1）由、，  ，
根据椭圆定义知的轨迹为以、为焦点的椭圆，
其长轴，焦距，短半轴，故的方程为.
（2）过点与轴垂直的直线不与圆相切，故可设:，
由直线与曲线相切得，化简得，，
由，解得，
联立，消去整理得，
直线被曲线截得的线段一端点为，设另一端点为，
解方程可得，
有，
令，则，，
考查函数的性质知在区间上是增函数，
所以时，取最大值，从而.