Question

17．设抛物线y²=16x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且2$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{PA}$，则|AF|+2|BF|=15．

Answer 1

分析 根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的横坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+2|BF|．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（1，0），
∴$\overrightarrow{BP}$=（1-x₂，-y₂），$\overrightarrow{PA}$=（x₁-1，y₁），
∵2$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{PA}$，
∴2（1-x₂，-y₂）=（x₁-1，y₁），
∴x₁+2x₂=3，-2y₂=y₁，
将A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入抛物线y²=16x，可得y₁²=16x₁，y₂²=16x₂，
又∵-2y₂=y₁，∴4x₂=x₁，
又∵x₁+2x₂=3，
解得x₂=$\frac{1}{2}$，x₁=2，
∵|AF|+2|BF|=x₁+4+2（x₂+4）=2+4+2（$\frac{1}{2}$+4）=15．
故答案为：15．

点评 本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．