Question

已知函数f（x）=3-2|x|，g（x）=x²-2x，构造函数F（x），定义如下：当f（x）≥g（x）时，F（x）=g（x）；当f（x）＜g（x）时，F（x）=f（x）．那么F（x）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．

解答： 解：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，
然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）有最大值，无最小值．
由图象可知，当x＜0时，y=F（x）取得最大值，
所以由3-2|x|=x²-2x得x=2+

7

（舍）或x=2-

7

．
此时F（x）的最大值为：7-2

7

．
故答案为：7-2

7

．

点评：本题考查新定义，考查阅读能力和函数图象的画法，必须弄懂F（x）是什么．先画出|f（x）|及g（x）与-g（x）的图象．再比较f（x）与g（x）的大小，然后确定F（x）的图象．这是一道创新性较强的试题，属中档题．