Question

【题目】如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∵AE平面PAC．
∴BC⊥AE．
因此①正确．
④由①可知：AE⊥BC，
又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．
因此④正确．
②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．
又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，
∴PB⊥平面AEF，
∴PB⊥EF．
因此②正确．
③AF⊥BC不正确；
用反证法证明：假设AF⊥BC，
又AF⊥PB，PB∩BC=B．
∴AF⊥平面PBC．
这与AE⊥平面PBC相矛盾．因此假设不成立．
故③不正确．
综上可知：只有①②④正确．
所以答案是：①②④．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．