分析 (1)通过将B(m,4)代入抛物线方程可知m=$\frac{8}{p}$,利用4|BF|=5|AB|及抛物线定义可知p=4,进而可知抛物线方程为y2=8x,通过设与直线x-y+3=0平行且与抛物线相切的直线方程为x-y+t=0并与抛物线方程联立,利用根的判别式为0、两条平行线之间的距离公式计算即得结论;
(2)通过C(x1,y1)、D(x2,y2),设存在满足题意的直线l的方程为y=kx+4并与抛物线方程联立,利用韦达定理可知x1+x2=-$\frac{8(k-1)}{{k}^{2}}$、x1x2=$\frac{16}{{k}^{2}}$,通过$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BD}=0$化简计算可知k=-$\frac{4}{5}$,整理即得结论.
解答 解:(1)依题意,B(m,4),代入抛物线方程,
得:16=2pm,即m=$\frac{8}{p}$,
∵4|BF|=5|AB|,
∴$\frac{p}{2}$=|BF|-|AB|=($\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$)$\frac{8}{p}$,
解得:p=4或p=-4(舍),
从而抛物线方程为:y2=8x,
设与直线x-y+3=0平行且与抛物线相切的直线方程为:x-y+t=0,
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+t=0}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$,整理得:y2-8y+8t=0,
令△=64-32t=0,得t=2,
于是所求值为$\frac{3-2}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)结论:存在满足条件的直线l方程y=-$\frac{4}{5}$x+4.
理由如下:
设存在满足题意的直线l的方程为:y=kx+4,
联立直线l与抛物线方程,整理得:k2x2+8(k-1)x+16=0,
设C(x1,y1)、D(x2,y2),
则x1+x2=-$\frac{8(k-1)}{{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{16}{{k}^{2}}$,
∵BC⊥BD,B(2,4),
∴(x1-2,y1-4)•(x2-2,y2-4)=0,
整理得:(k2+1)x1x2-2(x1+x2)+4=0,
即(k2+1)•$\frac{16}{{k}^{2}}$+2•$\frac{8(k-1)}{{k}^{2}}$+4=0,
化简得:5k2+4k=0,
解得:k=-$\frac{4}{5}$或k=0(舍),
故直线l方程为:y=-$\frac{4}{5}$x+4.
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查数形结合能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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