Question

设函数y=f（x）定义在R上，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意m，n，有f（m+n）=f（m）•f（n），当m≠n时，f（m）≠f（n）；
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（ax+by+c）=1，a，b，c∈R，a≠0}，若A∩B=Φ，求a，b，c满足的条件．

Answer 1

解：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=n=0
则f（0）=f（0）•f（0）
又∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令m=-n
则可得f（m）•f（n）=1
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴当x＜0时，0＜f（x）＜1，
令n＞0，则m+n＞m
则f（m+n）-f（m）=f（m）•[f（n）-1]＞0
故f（x）在R上是增函数；
（3）若f（x²）•f（y²）＜f（1）
即x²+y²＜1，则A表示单位圆内的点集
若f（ax+by+c）=1，则ax+by+c=0
若A∩B=Φ，
则表示原点到直线ax+by+c=0的距离大于等于1
即≥1；
整理得a²+b²≤c²
分析：（1）根据对任意m，n，有f（m+n）=f（m）•f（n），m=n=0，即可求出f（0）=1；
（2）根据已知中当x＞0时，f（x）＞1，结合（1）的定义，我们易得到当x＜0时，0＜f（x）＜1，利用做差法，即可证明出f（x）在R上是增函数；
（3）结合（1）的结论，分别集合A，B的元素所具有的几何性质，可将问题转化为直线与圆相切或相离的问题，进而得到结论．
点评：本题考查的知识点是抽象函数的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答本题的关键．