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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|
    F1Q
    |=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
    PT
    •
    TF2
    =0    ，|
    TF2
    |≠0．
    （1）求证：|PQ|=|PF2|；
    （2）求点T的轨迹C的方程；
    （3）若椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，试判断轨迹C上是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2，若存在，请求出∠F1MF2的正切值．
    （1）由椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，
    又|QF1|=|PF1|+|QP|=2a，
    ∴|PQ|=|PF2|．
    （2）由（1）得|PQ|=|PF2|，又
    PT
    •
    TF2
    =0，|
    TF2
    |≠0    ．
    ∴点T为QF2的中点，
    又点O是线段F1F2的中点，
    ∴OT是△QF1F2的中位线．
    ∴|OT|=
    1
    2
    |QF1|=a    ，所以点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2．
    （3）假设C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是
    x20
    +
    y20
    =a2…(3)
    1
    2
    •2c|y0|=b2…(4)
    ，
    由题意得|y0|≤a，由（4）得|y0|=
    b2
    c
    ．
    所以若要存在点M，使S=b2，必须a≥
    b2
    c
    ，即ac≥b2 ，
    ∴ac≥a2-c2，两边同除以a2得e2+e-1≥0，解得
    		5
    -1
    2
    ≤e＜1，或e≤
    -
    		5
    -1
    2
    （舍去）．
    ∵
    		3
    2
    ∈[
    		5
    -1
    2
    ，1），
    故当椭圆的离心率e=
    		3
    2
    时，轨迹C上存在点M，使△F1MF2的面积S=b2．
    在此条件下，
    MF1
    =(-c-x0，-y0)，
    MF2
    =(c-x0，-y0)    ，
    由
    MF1
    •
    MF2
    =
    x20
    -c2+
    y20
    =a2-c2=b2    ，
    MF1
    •
    MF2
    =|
    MF1
    |•|
    MF2
    |cos∠F1MF2    ，S=
    1
    2
    |
    MF1
    |•|
    MF2
    |sin∠F1MF2=b2    ，
    得tan∠F1MF2=2．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    椭圆
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲
    x2
    4
    -
    y2
    5
    =1    的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=
    		2
    |AF|    ，则A点的横坐标为（　　）
    A．2
    		2
    		B．3C．2
    		3
    		D．4

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知三角形△ABC的两顶点为B（-2，0），C（2，0），它的周长为10，求顶点A轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线的方程为5x2-4y2=20两个焦点为F1，F2．
    （1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
    （2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P满足|PF1|•|PF2|=6，求椭圆的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左焦点F1的坐标为（-1，0），已知椭圆E上的一点到F1、F2两点的距离之和为4．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）过椭圆E的右焦点F2作一条倾斜角为
    π
    4
    的直线交椭圆于C、D，求△CDF1的面积；
    （Ⅲ）设点P（4，t）（t≠0），A、B分别是椭圆的左、右顶点，若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N，求证∠MBP为锐角．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    从圆O：x2+y2=4上任意一点P向x轴作垂线，垂足为P′，点M是线段PP′的中点，则点M的轨迹方程是（　　）
    A．
    9x2
    16
    +
    y2
    4
    =1    		B．
    9y2
    16
    +
    x2
    4
    =1
    C．x2+
    y2
    4
    =1    		D．
    x2
    4
    +y2=1

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为
    1
    3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）在椭圆上任取一点P，过P点做y轴垂线段PQ，Q为垂足，当P在椭圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C：x2=2py过点P(1，
    1
    2
    )    ，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M，N．
    （1）求p的值；
    （2）是否存在定点Q，当直线l过点Q时，△PAM与△PBN的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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