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(本小题共13分)

对于数列,若满足,则称数列为“0-1数列”.定义变换将“0-1数列”中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0. 例如:1,0,1,则是“0-1数列”,令

.

(Ⅰ) 若数列 求数列

(Ⅱ) 若数列共有10项,则数列中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由;

(Ⅲ)若为0,1,记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.

(共13分)

解:(Ⅰ)由变换的定义可得                           ………………2分

                                                   ………………4分

(Ⅱ) 数列中连续两项相等的数对至少有10对                    ………………5分

证明:对于任意一个“0-1数列”中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1,在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0,

因此,共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对,

所以中至少有10对连续相等的数对.                            ………………8分

(Ⅲ) 设中有个01数对,

中的00数对只能由中的01数对得到,所以

中的01数对有两个产生途径:①由中的1得到; ②由中00得到,

由变换的定义及可得中0和1的个数总相等,且共有个,

所以

所以

可得

所以

时,

为偶数,,

            ,

             

           .

上述各式相加可得

经检验,时,也满足.

为奇数,

           

             

            .

上述各式相加可得

经检验,时,也满足.

所以    .                               ………………13分

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