Question

设函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，则方程f（x）=0在闭区间[-2011，2011]上的根的个数为（　　）

• A、802
• B、803
• C、804
• D、805

Answer 1

分析：根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有403个解，在[-2011，0]上有402个解，综合可得答案．

解答：解：由

f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x)

⇒

f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x)

⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有403个解，在[-2011，0]上有402个解，
所以函数y=f（x）在[-2011，2011]上有805个解．
故选D．

点评：本题主要考查了函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，属于基础题．