Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁BB；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证GE∥侧面AA₁B₁B，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证GE与侧面AA₁B₁B 内一直线平行，延长B₁E交BC于F，而GE∥AB₁，GE?侧面AA₁B₁B，AB₁?侧面AA₁B₁B，满足定理的条件；
（2）过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T，根据二面角平面角的定义可知∠B₁TH为所求二面角的平面角，在Rt△B₁HT中求出此角的正切值即可．

解答：解：（1）延长B₁E交BC于F，
∵△B₁EC₁∽△FEB，BE=

1

2

EC₁
∴BF=

1

2

B₁C₁=

1

2

BC，从而F为BC的中点． （2分）
∵G为△ABC的重心，
∴A、G、F三点共线，且=

FG

FA

=

FE

FB1

=

1

3

，
∴GE∥AB₁，
又GE?侧面AA₁B₁B，AB₁?侧面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B （4分）
（2）在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=

3

（6分）
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T．由三垂线定理有B₁T⊥AF，又平面B₁GE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B₁TH为所求二面角的平面角（8分）
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=

3

2

，
在Rt△B₁HT中，tan∠B₁TH=

B1H

HT

=

2 3

3

（10分）
从而平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan

2 3

3

（12分）．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角的度量等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题，本题解题的关键是找出二面角的平面角，放在一个可解的三角形中解出结果．