分析 根据条件便可得出∠BAO=120°,然后可建立一个平面直角坐标系,并在x轴的正半轴确定点B,进而确定点A,并可求出点A,B的坐标,可设C(x,y),从而求出向量$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}$的坐标,这样即可得出$(x-1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=2$,这样该方程便表示以(1,$\sqrt{3}$)为圆心,半径为$\sqrt{2}$的圆,并画出图形,由图形即可求出$|\overrightarrow{OC}|$的取值范围.
解答 解:根据条件,$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos∠BAO=2cos∠BAO=-1$;
∴$cos∠BAO=-\frac{1}{2}$;
∴∠BAO=120°;
建立一平面直角坐标系,O为坐标原点,在x轴正半轴确定点B,确定点A,如图所示:
则$A(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$,B(2,0);
设C(x,y),∴$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}=(-1,\sqrt{3})+(2-x,-y)$=$(1-x,\sqrt{3}-y)$;
∴$(x-1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=2$;
∴(x,y)在以$(1,\sqrt{3})$为圆心,半径为$\sqrt{2}$的圆上,如图所示:
设圆心O′,则OO′=2;
圆上的点到O的最小距离为$2-\sqrt{2}$,最大距离$2+\sqrt{2}$,且$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$;
∴$|\overrightarrow{OC}|$的取值范围为$[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$.
故答案为:$[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$.
点评 考查建立平面直角坐标系,利用向量坐标解决向量问题的方法,向量数量积的计算公式,根据点的坐标可求向量坐标,向量坐标的加法和数乘运算,圆的标准方程,数形结合解题的方法.
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A. | 3 | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 1 |
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A. | 若f(1)≥2,则f(n)≥2n | B. | 若f(4)<16,则f(n)<2n | ||
C. | 若f(4)≥16,则当n≥4时,f(n)≥2n | D. | 若f(1)<2,则f(n)<2n |
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A. | 7 | B. | 6 | C. | 5 | D. | 4 |
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